【導(dǎo)讀】本設(shè)計(jì)實(shí)例以數(shù)學(xué)公式和文字對(duì)置信區(qū)間進(jìn)行了基本定義，工程師能夠以數(shù)學(xué)的方式正確表達(dá)估計(jì)的確定性。同時(shí)還描述了觀察時(shí)間將如何影響觀察到的誤碼與預(yù)期誤碼之間的關(guān)系，以及如何影響B(tài)ER估計(jì)的精度。
最近我對(duì)為數(shù)眾多的年輕工程師感到擔(dān)憂，他們?cè)诖髮W(xué)里似乎沒有學(xué)過應(yīng)用概率課程，不知道如何量化估計(jì)的確定性。高速串行通信需要估計(jì)某條通信鏈路的誤碼率(BER)，并量化該估計(jì)的置信度。我聽到越來越多的年輕工程師這樣說：
“好吧，我很肯定這條通信鏈路的誤碼率低于1E-12，”或者更糟糕的，“我對(duì)給你的BER估計(jì)值有99%的把握。”
但他們對(duì)聲稱的99%常常又沒有任何依據(jù)。這個(gè)數(shù)字非常吸引人，因?yàn)樗@得非常有把握，同時(shí)又留了1%的退路以便在事情出現(xiàn)偏差時(shí)有合理的借口。記住，這種營(yíng)銷式的思路不應(yīng)該屬于一個(gè)合格的工程師！
置信區(qū)間
首先我們來看一下置信區(qū)間的精確數(shù)學(xué)定義：
其中m’是一個(gè)可變的整數(shù)，m是實(shí)際觀察到的誤碼數(shù)，BER是鏈路的實(shí)際誤碼率， 是估計(jì)值。 公式1用文字描述就是：“如果BER比設(shè)想的糟，那么估計(jì)的置信度就是本應(yīng)觀察到更多誤碼的概率。”
二項(xiàng)式分布
公式2的二項(xiàng)式分布定義了在已知任一比特出錯(cuò)概率p的條件下，在一定比特?cái)?shù)n中觀察到一定誤碼數(shù)m的概率。
公式2完全正確，但并不實(shí)用，因?yàn)閚!通常很大，大多數(shù)數(shù)字計(jì)算器或計(jì)算機(jī)都無法處理。因此我們必須找出機(jī)器能夠處理的近似公式。
泊松分布
在實(shí)際的串行通信中，假設(shè)鏈路設(shè)計(jì)得非常好，公式2中的m和p值一般都很小，但n很大。在這種情況下，我們可以做以下兩次簡(jiǎn)化近似：
我們知道：
將這兩個(gè)公式代入公式2就得到著名的泊松分布。
值得注意的是，公式7中不再有任何大的階乘項(xiàng)，因而用數(shù)字計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算成為可能。
置信區(qū)間與無誤碼觀察時(shí)間
假定我們看到一條處理n比特不出錯(cuò)的鏈路，利用P(m)表達(dá)式，可以對(duì)公式1進(jìn)行評(píng)估。直接將公式1進(jìn)行擴(kuò)展得到：
雖然通過代數(shù)技巧可以得到這些無限和的諸多封閉解，但這并非其中的一個(gè)。我們很幸運(yùn)，因?yàn)榭梢岳萌缦碌母怕使恚?/div>
該公式表明，一個(gè)事件發(fā)生的概率等于1減去其補(bǔ)發(fā)生的概率。這樣公式8可以改寫為：
由于m的值幾乎總是很小，所以公式10對(duì)設(shè)計(jì)良好的串行通信鏈路來說通常都是可跟蹤的。在這個(gè)特定案例(無誤碼觀察時(shí)間)中，m=0，并且：
表1針對(duì)幾個(gè)不同的數(shù)值np給出了置信區(qū)間的計(jì)算結(jié)果。數(shù)值np可以被想象為無誤碼觀察時(shí)間，歸一化為UI/ ，其中UI是單位間隔。換句話說，如果我們估計(jì)鏈路的BER為1E-12，那么np=1意味著我們觀察到1E12個(gè)比特，np=5意味著我們觀察到5E12個(gè)比特。
表1：置信區(qū)間和無誤碼觀察間隔的關(guān)系。
從表中的數(shù)據(jù)可以看出，只有當(dāng)無誤碼觀察間隔達(dá)到5E12個(gè)比特，才可以斷言一條鏈路以等于或小于1E-12的BER運(yùn)行的確定性高于99%。
有誤碼的置信區(qū)間
如果我們?cè)龃笥^察間隔會(huì)發(fā)生什么？如果觀察間隔足夠大，我們會(huì)看到很少的誤碼。這對(duì)置信區(qū)間有什么影響呢？在研究這個(gè)問題之前，讓我們先看看另一個(gè)問題：在表1所示的每一個(gè)案例中，我們希望觀察到多少誤碼？
下面的數(shù)學(xué)公式可以精確地定義隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的期望輸出結(jié)果：
其中n是完成的試驗(yàn)次數(shù)，px是任何一次試驗(yàn)成功的概率。在我們的案例中，“成功”意味著捕捉到一個(gè)誤碼。從公式12來看，不管觀察到的誤碼數(shù)是多少，我們的期望值就是觀察到的比特?cái)?shù)乘以任何一個(gè)比特出錯(cuò)的概率。它同時(shí)表明，表1中的數(shù)值np就是我們期望觀察到的誤碼數(shù)。
接下來讓我們用更多的數(shù)據(jù)來豐富表1，如表2所示。
表2：觀察到的誤碼數(shù)不同時(shí)置信區(qū)間與觀察時(shí)間的比較。
現(xiàn)在我們給CI一個(gè)數(shù)字上標(biāo)，表示觀察到的誤碼數(shù)。對(duì)每一列CIN，藍(lán)色粗體字代表最小觀察時(shí)間，它將產(chǎn)生一個(gè)大于99%的置信區(qū)間。注意，觀察時(shí)間的單位是期望誤碼數(shù)。表3列出了期望誤碼數(shù)和實(shí)際觀察到的誤碼數(shù)，以及兩者的比值(觀察值/期望值)：
表3：不同觀察時(shí)間下觀察到的誤碼數(shù)與期望誤碼數(shù)之比。
趨勢(shì)很明顯：如果延長(zhǎng)觀察時(shí)間并接受更多觀察到的誤碼，允許觀察到的誤碼數(shù)會(huì)越來越接近期望值，而在BER估計(jì)中仍能提供大于99%的置信度。這與我們的直覺一致，若是能將觀察時(shí)間無限延長(zhǎng)，我們應(yīng)該能夠精確地觀察到期望的誤碼數(shù)。
精度
延長(zhǎng)觀察時(shí)間的另一個(gè)好處是能夠提高BER估計(jì)的精度。為了定量地進(jìn)行討論，我們需要確定一下“精確”的具體含義。因此，我們?yōu)锽ER估計(jì)的置信區(qū)間選擇了一個(gè)有用的范圍：70%到99%。
如果置信區(qū)間涉及的BER估計(jì)范圍更小，就需要將特定的觀察定義得更“精確”。我們一般會(huì)說：“我們不信任低于70%的置信區(qū)間，也不在意置信區(qū)間比99%高多少，只要夠高就行。”
圖1顯示了在不同的觀察時(shí)間下，置信區(qū)間是如何隨BER估計(jì)變化的。觀察時(shí)間已經(jīng)被歸一化，這樣對(duì)于每一個(gè)觀察到的誤碼數(shù)，1E-12 BER估計(jì)中的置信度就非常接近99%。從這張圖可以清楚地看到，隨著觀察時(shí)間(和觀察到的誤碼數(shù))的增加，曲線有效區(qū)域的傾斜度也隨之增加。圖2對(duì)此進(jìn)行了量化，將BER估計(jì)的有用范圍作為觀察時(shí)間的函數(shù)繪成了曲線。
隨著觀察時(shí)間接近無限，你可以想象這個(gè)極限：“CI與BER”曲線變成完美的階梯函數(shù)，有用的BER估計(jì)范圍趨于0，我們?cè)诓淮_定性為零的條件下得到了一個(gè)完全精確的BER估計(jì)。
圖1：不同觀察時(shí)間下置信區(qū)間隨BER估計(jì)的變化。
圖2：隨著觀察時(shí)間的延長(zhǎng)，有用的BER范圍將縮小。
總結(jié)
置信區(qū)間讓我們可以量化鏈路BER估計(jì)的確定性。對(duì)串行通信鏈路設(shè)計(jì)師來說這是必不可少的工具，它能幫助我們以定量的方式跟其他工程師談?wù)撚肋h(yuǎn)不具有完全確定性的事件，這對(duì)于任何一個(gè)嚴(yán)肅的工程討論都特別重要。“我很肯定”這樣的表達(dá)不適合工程師，最好留給營(yíng)銷人員推廣和辯護(hù)使用。
使用文中介紹的置信區(qū)間的數(shù)學(xué)定義，你可以正確地向其他工程師表達(dá)估計(jì)的確定性。我還用文字說明了置信區(qū)間的含義，理由有二：
- 你可以欣賞工程學(xué)理論的進(jìn)步；
- 你可以將置信區(qū)間的基本思想應(yīng)用到串行通信鏈路設(shè)計(jì)以外的學(xué)科中去。
文章以數(shù)學(xué)公式和文字對(duì)置信區(qū)間進(jìn)行了基本定義，還展示了觀察時(shí)間如何影響觀察到的誤碼和期望誤碼之間的關(guān)系以及BER估計(jì)的精度。希望這些已經(jīng)引起你的興趣，激勵(lì)你繼續(xù)探索工程學(xué)的發(fā)展。
本文轉(zhuǎn)載自電子技術(shù)設(shè)計(jì)。
推薦閱讀：
